यदि फलन f(x) = begin{cases} tan^{-1}x; & x

Question

(C) किसी फलन $f(x)$ का $x = a$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,$x = a$ पर फलन का मान $a$ के निकटतम पड़ोस में फलन के मानों से कम या उसके बराबर होना

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$\left( -\infty, \frac{\pi}{4} \right]$

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(C) किसी फलन $f(x)$ का $x = a$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,$x = a$ पर फलन का मान $a$ के निकटतम पड़ोस में फलन के मानों से कम या उसके बराबर होना चाहिए।विशेष रूप से,$x = 1$ के लिए,हमें $f(1) \le f(1 - h)$ और $f(1) \le f(1 + h)$ की आवश्यकता है,जहाँ $h$ एक छोटी धनात्मक संख्या है।सबसे पहले,$x \ge 1$ के लिए परिभाषा का उपयोग करके $f(1)$ ज्ञात करें: $f(1) = \sec^{-1}(1) + \lambda = 0 + \lambda = \lambda$.इसके बाद,$x 	o 1^-$ के लिए सीमा लें: $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.$x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,$x = 1$ पर मान $1$ के बाईं ओर के मानों से कम या बराबर होना चाहिए। अतः,हमें $\lambda \le \frac{\pi}{4}$ की आवश्यकता है।इसके अलावा,$x > 1$ के लिए,$f(x) = \sec^{-1}(x) + \lambda$ है। चूँकि $\sec^{-1}(x)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $\lambda$ के किसी भी मान के लिए सभी $x > 1$ के लिए $f(x) > f(1)$ होगा।अतः,$x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान के लिए शर्त $\lambda \le \frac{\pi}{4}$ है,जो अंतराल $\left( -\infty, \frac{\pi}{4} ight]$ को दर्शाता है।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1}x; & x < 1 \\ \sec^{-1}x + \lambda; & x \ge 1 \end{cases}$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है,तो $\lambda$ का परिसर ज्ञात कीजिए।

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